ТЕМА 2. Векторная алгебра.

1. Линейные деяния над векторами (сложение, вычитание, умножение на число).

2. Нелинейные деяния с векторами (скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение).

3. Решение задач при помощи векторной алгебры. Условие коллинеарности, условие перпендикулярности, условие компланарности векторов.

Решение типового варианта контрольной работы.

Задание 1: Коллинеарны ли векторы и , разложенные по векторам и , где

Решение:

1. Вычислим проекции векторов на ТЕМА 2. Векторная алгебра. оси координат:

2. Два вектора коллинеарны, если их проекции на оси координат пропорциональны, как следует, проверим пропорциональность проекций векторов на оси координат:

не коллинеарны.

Задание 2: Перпендикулярны ли векторы ?

Решение:Два вектора перпендикулярны , если их скалярное произведение равно 0,скалярное произведение векторов, данных проекциями на оси координат, рассчитывается по ТЕМА 2. Векторная алгебра. формуле: , где вычислим скалярное произведение:

векторы не перпендикулярны.

Задание 3: Компланарны ли векторы ?

Решение: Три вектора компланарны, если смешанное произведение векторов равно 0, смешанное произведение векторов рассчитывается по формуле: , где вычислим смешанное произведение векторов:

векторы не компланарны.

Задание 4: При каком значении векторы где , перпендикулярны?

Решение:

1) Для определения , при котором векторы перпендикулярны, нужно ТЕМА 2. Векторная алгебра. использовать условие перпендикулярности 2-ух векторов (это условие подверглось рассмотрению в задании 2) мы сможем отыскать из условия: , для этого найдем проекции векторов и на оси координат, данных координатами точек начала и конца вектора. В данном случае проекции вектора на оси координат равны разности координат точек, задающих конец и начало вектора ТЕМА 2. Векторная алгебра.

Итак: векторы и перпендикулярны при и при

Задание 5: Даны точки:

Отыскать:

1. пр ;

2. ;

3. ;

4. орт вектора ;

5. ;

6. ;

7.

Решение:

1. Из определения скалярного произведения следует, что проекцию вектора на вектор можно вычислить по формуле: пр где скалярное произведение векторов рассчитывается по формуле: где и длина вектора: итак ,в нашем случае, формула воспринимает вид ТЕМА 2. Векторная алгебра.: для нахождения нужно отыскать проекции векторов на оси координат, данных координатами точек начала и конца векторов, скалярное произведение и длину соответственного вектора:

на основании формулы, выше написанной, получим :

пр ;

2. Для нахождения длины вектора воспользуемся формулой: , для этого найдем проекции векторов на оси координат (смотри пункт 1), так же найдем сумму ТЕМА 2. Векторная алгебра. векторов по правилу сложения векторов, данных проекциями на оси координат:

;

Итак:

3. Угол меж векторами можно отыскать из определения скалярного произведения: в нашем случае формула воспринимает вид: находим проекции векторов на оси координат (смотри пункты 1 и 2), вычисляем скалярное произведение векторов, данных своими проекциями на оси координат, вычисляем длины векторов:

Итак

4. Направление вектора ТЕМА 2. Векторная алгебра. определяется углами , образованными им с осями координат Косинусы этих углов (направляющие косинусы вектора) определяются по формулам: Направляющие косинусы вектора связаны соотношением мы имеем вектор единичной длины, таковой вектор именуется ортом для нахождения орта вектора нужно каждую проекцию вектора на оси координат поделить на его длину орт вектора ТЕМА 2. Векторная алгебра. .

Итак: орт вектора

5. Скалярное произведение векторов вычисляем по формуле:

(см. пункты 1 и 2), вычислим проекции векторов на оси координат и скалярное произведение векторов :

Итак:

6. Векторное произведение векторов рассчитывается по формуле:

, где

Находим проекции векторов на оси координат:

Итак:

7. Смешанное произведение векторов рассчитывается по формуле:

, где Итак:

Задание 6:Даны координаты вершин пирамиды:

Вычислить ТЕМА 2. Векторная алгебра.:

1. объем пирамиды;

2. длину ребра ;

3. площадь грани ;

Решение:

1. Объем пирамиды равен объема параллелепипеда, а объем параллелепипеда рассчитывается на основании геометрического смысла смешанного произведения объем

параллелипипеда, построенного на векторах как на ребрах равен:

Найдем проекции соответственных векторов на оси координат:

Тогда объем пирамиды равен:

Вычислим объем по обозначенной формуле:

;

2. Длина ребра

; (смотри пункт 5,3)

3. Площадь ТЕМА 2. Векторная алгебра. грани рассчитывается по формуле:

потому что грань треугольник, а площадь треугольника можно вычислить как половину площади параллелограмма, а площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых построен параллелограмм на основании параметров векторного произведения найдем проекции векторов на оси координат:

;


Контрольная работа


tema-2-ttradiconnie-predstavleniya-o-prave-magistratura.html
tema-2-uchet-denezhnih-sredstv-i-finansovih-vlozhenij.html
tema-2-uchyot-proizvodstva-gotovoj-produkcii-na-predpriyatiyah-obshestvennogo-pitaniya.html